Bàn về cách giải phương trình nghiệm nguyên ax + by = c

Nhiều sách tham khảo toán đã giới thiệu hàng loạt mẹ để tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định hai ẩn dạng ax + by = c với a, b, c là các số nguyên. Theo gia sư hà nội đánh giá thì việc giải bài toán này thật đơn điệu và đôi khi gây sự chán nản khi các bạn phải lý luận nhiều lần lặp lại.

Để cụ thể hơn tôi –  một gia sư toán của gia sư hà nội xin lấy một ví dụ về cách tìm nghiệm nguyên của phương trình:

23x + 53y = 109 (1)

như sau:

Từ (1) ta có: x = (109 – 53y)/23 = 4 – 2y + (17 – 7y)/23.

Muốn x nguyên thì phải có t = (17 – 7y)/23 là số nguyên hay 23t + 7y = 17  (2)

Từ (2) có y = (17 – 23t)/7 = 2 – 3t + (3 – 2t)/7.

Muốn y nguyên phải có (3 – 2t)/7 = t1 nguyên hay 7t1 + 2t = 3 (3).

Từ (3) có t = (3 – 7t1)/2 = 1 – 3t1 + (1 – t1)/2. Vì t và t1 nguyên nên phải có (1 – t1)/2 = t2 nguyên hay 2t2 + t1 = 1 (4).

Từ (4) có t1 = 1 – 2t2 và t = 1 – 3t1 + t2 = 1 – 3(1 – 2t2) + t2 hay t = -2 + 7t2. Khi đó ta được: y = 2 – 3t + t1 = 2 – 3(-2 + 7t2) + (1 – 2t2) = 9 – 23t2.

và x = 4 – 2y + t = 4 – 2(9 – 23t2) – 2 + 7t2 = -16 + 53t2.

Phương pháp giải đã đưa chúng ta được tới kết quả cuối cùng nhưng thật tẻ nhạt phải không. Vậy chúng ta hãy cùng gia sư toán tại hà nội xét một bài toán khác: Tìm nghiệm  nguyên của phương trình 12x – 67y = 43 (5)

Từ (5) ta có: x = 3 – 5y + (7 – 7y)/12 = 3 – 5y + 7(1 – y)/12.

Vì 7 và 12 nguyên tố cùng nhau nên để x nguyên thì (1 – y)/12 = t phải nguyên. Từ đó suy ra y = 1 – 12t và x = 67t – 2.

Giờ đặt câu hỏi, phải chăng phương pháp giải ở đây chỉ thuận lợi cho việc giải phương trình (5) mà thôi? Để trả lời câu hỏi của gia sư hà nội chúng ta hãy thử giải phương trình (1) theo kiểu đã giải phương trình (5).

Từ (1) ta có x = 4 – 2y + (17 – 7y)/23. Giá như 17 và 7 có ước số chung, hay đẹp hơn nữa 17 chia hết cho 7. Cố tạo ra một con số chia hết cho 7, chúng ta cộng và trừ thêm 4 thì được x = 4 – 2y + (7(3 – y) – 4)/23. Con số 4 mới xuất hiện đã gây thêm phiền phức. Nếu nó chia hết cho 23 thì tốt quá. Bằng một linh cảm trực giác chúng ta chọn con số khác: 46.

Ta viết: x = 4 – 2y + (17 – 7y)/23 = 4 – 2y + (17 – 7y + 46 – 46)/23 = 4 – 2y + 7(9 – y)/23 – 2.

Như vậy phải có (9 – y)/23 = t nguyên suy ra y = 9 – 23t và x = 2 – 18 + 46t + 7t = 53t – 16.

Nói một cách khái quát, để tìm nghiệm nguyên của phương trình ax + by = c với các số nguyên a, b, c chúng ta có thể làm như sau: Chọn A là bội nguyên của a sao cho c + A chia hết cho b, tức là A = ma và c + A = kb với m, k là các số nguyên, lúc đó:

x = (c + A – by – A)/a = (kb – by)/a – m = b(k – y)/a – m.

Giản ước b/a để đưa về dạng tối giản b/a = b’/a’ với (a’, b’) = 1. Muốn x nguyên phải có (k  -y)/a’ = t nguyên. Từ đó suy ra y = k – a’t, x = b’t – m.

Mời các em đón đọc những bài viết khác của gia sư toán hà nội. Chúc các em học tốt.

About Toàn Lê